起床困难综合症

起床困难综合症

$21$ 世纪,许多人得了一种奇怪的病:起床困难综合症,其临床表现为:起床难,起床后精神不佳。

作为一名青春阳光好少年,atm 一直坚持与起床困难综合症作斗争。

通过研究相关文献,他找到了该病的发病原因: 在深邃的太平洋海底中,出现了一条名为 drd 的巨龙,它掌握着睡眠之精髓,能随意延长大家的睡眠时间。

正是由于 drd 的活动,起床困难综合症愈演愈烈, 以惊人的速度在世界上传播。

为了彻底消灭这种病,atm 决定前往海底,消灭这条恶龙。

历经千辛万苦,atm 终于来到了 drd 所在的地方,准备与其展开艰苦卓绝的战斗。

drd 有着十分特殊的技能,他的防御战线能够使用一定的运算来改变他受到的伤害。

具体说来,drd 的防御战线由 $n$ 扇防御门组成。

每扇防御门包括一个运算 $op$ 和一个参数 $t$,其中运算一定是 $OR,XOR,AND$ 中的一种,参数则一定为非负整数。

如果还未通过防御门时攻击力为 $x$,则其通过这扇防御门后攻击力将变为 $x op t$。

最终 drd 受到的伤害为对方初始攻击力 $x$ 依次经过所有 $n$ 扇防御门后转变得到的攻击力。

由于 atm 水平有限,他的初始攻击力只能为 $0$ 到 $m$ 之间的一个整数(即他的初始攻击力只能在 $0,1,…,m$ 中任选,但在通过防御门之后的攻击力不受 $m$ 的限制)。

为了节省体力,他希望通过选择合适的初始攻击力使得他的攻击能让 drd 受到最大的伤害,请你帮他计算一下,他的一次攻击最多能使 drd 受到多少伤害。

输入格式

第 $1$ 行包含 $2$ 个整数,依次为 $n,m$,表示 drd 有 $n$ 扇防御门,atm 的初始攻击力为 $0$ 到 $m$ 之间的整数。

接下来 $n$ 行,依次表示每一扇防御门。每行包括一个字符串 $op$ 和一个非负整数 $t$,两者由一个空格隔开,且 $op$ 在前,$t$ 在后,$op$ 表示该防御门所对应的操作,$t$ 表示对应的参数。

输出格式

输出一个整数,表示 atm 的一次攻击最多使 drd 受到多少伤害。

数据范围

输入样例:

1
2
3
4
3 10
AND 5
OR 6
XOR 7

输出样例:

1
1

样例解释

atm可以选择的初始攻击力为 $0,1,…,10$。

假设初始攻击力为 $4$,最终攻击力经过了如下计算

1
2
3
4
5
4 AND 5 = 4

4 OR 6 = 6

6 XOR 7 = 1

类似的,我们可以计算出初始攻击力为 $1,3,5,7,9$ 时最终攻击力为 $0$,初始攻击力为 $0,2,4,6,8,10$ 时最终攻击力为 $1$,因此 atm 的一次攻击最多使 drd 受到的伤害值为 $1$。

运算解释

在本题中,选手需要先将数字变换为二进制后再进行计算。如果操作的两个数二进制长度不同,则在前补 $0$ 至相同长度。

  • OR 为按位或运算,处理两个长度相同的二进制数,两个相应的二进制位中只要有一个为 $1$,则该位的结果值为 $1$,否则为 $0$。
  • XOR 为按位异或运算,对等长二进制模式或二进制数的每一位执行逻辑异或操作。如果两个相应的二进制位不同(相异),则该位的结果值为 $1$,否则该位为 $0$。
  • AND 为按位与运算,处理两个长度相同的二进制数,两个相应的二进制位都为 $1$,该位的结果值才为 $1$,否则为 $0$。

例如,我们将十进制数 $5$ 与十进制数 $3$ 分别进行 $OR、XOR$ 与 $AND$ 运算,可以得到如下结果:

1
2
3
   0101 (十进制 5)             0101 (十进制 5)             0101 (十进制 5)             
OR 0011 (十进制 3) XOR 0011 (十进制 3) AND 0011 (十进制 3)
= 0111 (十进制 7) = 0110 (十进制 6) = 0001 (十进制 1)

解析

字有点多,本质是一道模拟题和单纯考位运算的熟练程度。

先观察取值范围,$t$ 的最大值为1e9,即二进制后位数不会超过30位,而对于未知数 $x$ 而言,二进制下的第 $k$ 位只会有 $0$ 或 $1$ 两种值,我们直接带进去枚举就可以了。

$989898$ 与 $889898$,根据常识我们知道肯定是 $989898 > 889898$,这里同理,我们从最高位开始枚举得到的结果就是最优解;再根据题意可得一个条件,得到的未知数 $x$ 的范围在 $[0, m]$,所以我们每次只需要判断当前填 $1$ 得到的最优 $x$ 值是否 > m 即可,如果大于则当前位置上一定是填 $0$。

剩下的就是比较填 $1$ 能打的伤害最大还是填 $0$ 能打的伤害最大,这个就是比谁能在样例给的数据的计算结果中得到 $1$ 了。

时间复杂度为 $O(30\times n\times 2 \times log_2^m)$ 即为 $O(nlogm)$

放代码

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#include <cstdio>
#include <string>
#include <iostream>

const int N = 1e5 + 1;
int t[N];
std::string op[N];

int main() {
int n, m;
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
char str[5]; int x;
scanf("%s %d", str, &x);
op[i] = str;
t[i] = x;
}

int ans = 0, x = 0;
for (int i = 30; i >= 0; i--) {
int res1 = 1;
for (int j = 1; j <= n; j++) {
int f = t[j] >> i & 1;
if(op[j] == "OR") res1 |= f;
if(op[j] == "AND") res1 &= f;
if(op[j] == "XOR") res1 ^= f;
}

int res0 = 0;
for (int j = 1; j <= n; j++) {
int f = t[j] >> i & 1;
if(op[j] == "OR") res0 |= f;
if(op[j] == "AND") res0 &= f;
if(op[j] == "XOR") res0 ^= f;
}

if((res1 > res0) && (x + (1 << i)) <= m) {
x += 1 << i; ans += res1 << i;
} else ans += res0 << i;
} printf("%d", ans);
return 0;
}

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